再帰曲線

6月23日のblogの続き, 演習問題の解答である.

下の図の a は1枚の紙を上から見たところで, 一度も折らない, つまり0次のdragon曲線を表わす. dragon曲線には始点と終点を考える. 始点から終点へ向う矢印で, dragon曲線を表わすとすると, a は b のようになる. 矢印の先端の0は, 0次を意味する.



dragon曲線は紙を半分に折り, 折り目を直角に開くのだが, それの相当するのは, dragon曲線を表わす矢印の先に, 同じ矢印を右から合わせることである. 従って1次のdragon曲線の矢印₁は, 0次の矢印₀と矢印_0' から c のように作れる. 対応する1次のdragon曲線はd.

2次のdragon曲線と矢印の図をeに示す. 次はfのようだ.

このようにして, dragon曲線を次々と描くと, gの図が出来る. sは共通の始点である.


次にこれを青竜と赤竜で描いてみる.

aは0次の竜をつなげたもの. 青の始点は下, 終点は上で, 赤の始点は上, 終点は下である.

bは1次の青竜の終点に1次の赤竜の始点, 青竜の始点に赤竜の終点をつなげた.



0次の青を終点から1次の青の終点への上の矢印と1次の赤の終点から0次の赤の終点への下の矢印も示す. この矢印は, 前のblogの用語でいえば, 新興勢力がどこに出来たを示す.

このようにして, c, d, eはそれぞれ, 1次から2次, 2次から3次, 3次から4次へ新興勢力が拡大していく様子を示す.

これで分かるのは, 新版図は, 方向は45度ずつ時計回りにまわり, 距離は√2倍ずつ増えていることである.

一方, 例のフラクタル図の方は, 新版図は135度, 反時計回りにまわり, 距離は√2倍になっていたので, 結局同じように増殖していたことが判明した.

詳しくは, 竜の図で, 拡大したときにぶつからないことなど, 確認する必要があるが, 大体は良さそうに思った.