2010年5月17日月曜日

菱形六十面体

MathWorldのRhombic Hexecontahedronの項に気になる記述があった.

20個の菱形多面体(golden rhombohedra)を合わせると菱形六十面体が作れるというのである. 確かに外から見ると, それぞれの突起は菱形多面体のようである. しかも正十二面体の頂点は20個だから, 数的にも丁度合う.

問題は菱形多面体のとがった頂点の立体角で, 20個合わせて4 πになるかである. 黄金菱形のとがった角の半分はθ=atan(1/φ) (φは黄金比 (√5+1)/2)で, これを3枚合わせた立体角を計算したい. 球面三角法の図を使おう.



この図はOが菱形多面体のとがった頂点で, BOAが黄金菱形のとがった角, Cは底面の黄金菱形の半分で, ∠C=直角になっている. 小文字はOの周りの中心角, 大文字は2面角(dihedral angle)である.

この他 分かっているのは, b=θ; c=2θ; A=2Bの関係である.
sin C/sin c=sin B/sin bから, Bが分かり, Aが分かる.

またMathWorldのSpherical Triangleの項によれば, 2面角A,B,Cで囲まれる球面上の面積はR2[(A+B+C)-π]なので, これで立体角が得られる.

計算すると(単位はradian)

(define phi (/ (+ (sqrt 5) 1) 2)) => 1.618033988749895
(define b (atan (/ 1 phi))) => .5535743588970452
(=31.717474411461005°)
(define c (* 2 b)) => 1.1071487177940904
(define pi (* 4 (atan 1))) =>3.141592653589793
(define C (/ pi 2))
(define B (asin (/ (* (sin C) (sin b)) (sin c))))
=>.6283185307179586

あ, ∠Bはπ/5(=36°)なのか. 2Bの角が5個集まって360°になるわけだから, そういう考えから出発すれば, 何も計算することはなかったのか:-<.

従って2面角Aは2π/5; 球面上の面積は 6π/5-π=π/5.

たしかにこの立体角を20個合わせれば4πになるわ.

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