2013年7月26日金曜日

面積計を使う調和解析器

前回のブログ(2013年7月18日)の続きだ. あの奇妙な形の面積で係数が得られる理由はこうだ.

関数とA1の絵をもう一度見てみよう.



上の図のPの座標は(θ, f(θ))である. これを円柱に巻きつけて, zero-edgeが中央にくるように見たのが下の図である.

下の図で, 枠の中心を原点としたPの座標を(x,y)とすると,
x=sin(θ)
y=f(θ)
である.

x=g(θ), y=f(θ)でθ=0から2πで閉曲線になるとき, 閉曲線で囲まれた図形の面積は
S=∫f(θ)g'(θ)dθ
だから, A1の面積は(fをθ, 2θだけの関数として)
S=∫(A1 cos(θ)+A2 cos(2θ)+B1 sin(θ)+B2 sin(2θ)) cos (θ)dθ
で A1∫cos(θ)cos(θ)dθ=A1π 以外は消えるからこの面積の1/πが A1 になる.

こんな説明でいいだろうか. ところで, 積分が怪しいとか忘れたとかのときは, WolframAlphaにお伺いするとよい.

integrate cos(x) cos(x) dx from 0 to 2 pi => π
integrate cos (x) cos (2x) dx from 0 to 2 pi => 0
integrate cos (x) sin (x) dx from 0 to 2 pi => 0

など. 便利である.

0 件のコメント: