Piの近似値

Martin GardnerのPiの話を読んでいたら, 下のような図があり, おやっと思った.


円の半径を1とすると, FGの長さが16/113になるというのだ. 本当かと思い, 計算してみた.

図はこのように描いてある. ACGは半径1の円の1/4である.

BはCAのCから7/8の点, DはBGのGから1/2の点である.

DからACと平行にDEを引き, CG上の点をEとする. DからBEと平行にDFを引き, CG上の点をFとする.

BGの長さを計算すると BG²=(7/8)²+1²=(49+64)/8² =113/8²

BCGとDEGは相似だから EG/CG=DG/BG ∴ EG=CG*DG/BG

BEGとDFGは相似だから FG/EG=DG/BG ∴ FG=EG*DG/BG

この2つから FG=CG*DG/BG*DG/BG

CG=1だから FG=DG²/BG²=(1/4)/113/8²=16/113

もう何だか分った人も多いだろうが, この値に3を足すと(3*113+16)/113=355/113で円周率の近似値になるのである. つまりFGは円周率の小数部分であった.